ANALISIS DISKRIMINAN
I. Prinsip Dasar dan Tujuan Analisis
Analisis diskriminan adalah salah satu teknik statistik yang bisa digunakan pada hubungan dependensi (hubungan antarvariabel dimana sudah bisa dibedakan mana variabel respon dan mana variabel penjelas). Lebih spesifik lagi, analisis diskriminan digunakan pada kasus dimana variabel respon berupa data kualitatif dan variabel penjelas berupa data kuantitatif. Analisis diskriminan bertujuan untuk mengklasifikasikan suatu individu atau observasi ke dalam kelompok yang saling bebas (mutually exclusive/disjoint) dan menyeluruh (exhaustive ) berdasarkan sejumlah variabel penjelas.
Ada dua asumsi utama yang harus dipenuhi pada analisis diskriminan ini, yaitu:
1. Sejumlah p variabel penjelas harus berdistribusi normal.
2. Matriks varians-covarians variabel penjelas berukuran pxp pada kedua kelompok harus sama.
Jika dianalogikan dengan regresi linier, maka analisis diskriminan merupakan kebalikannya. Pada regresi linier, variabel respon yang harus mengikuti distribusi normal dan homoskedastis, sedangkan variabel penjelas diasumsikan fixed, artinya variabel penjelas tidak disyaratkan mengikuti sebaran tertentu. Untuk analisis diskriminan, variabel penjelasnya seperti sudah disebutkan di atas harus mengikuti distribusi normal dan homoskedastis, sedangkan variabel responnya fixed.
II. Format Data Dasar dan Program Komputer yang Digunakan
Data dasar yang digunakan otomatis adalah data yang kontinu (karena adanya asumsi kenormalan) untuk variabel penjelas (Xj) dan data kategorik/kualitatif/nonmetric untuk variabel respon (Y).
Tabel 1. Format Data untuk Analisis Diskriminan
X1 X2 . . . Xp Y
… … … … … … …
… … … … … … …
Secara aplikatif, data dilihat pada bagian Contoh Aplikasi Analisis (bagian IV).
Beberapa software yang bisa digunakan adalah SPSS, SAS, dan Minitab. Karena keterbatasan ilmu yang dimiliki penulis, kali ini hanya akan diberikan contoh bagaimana penggunaan SPSS untuk melakukan analisis diskriminan ini.
III. Algoritma Pokok Analisis dan Model Matematis
Secara ringkas, langkah-langkah dalam analisis diskriminan adalah sebagai berikut:
1. Pengecekan adanya kemungkinan hubungan linier antara variabel penjelas. Untuk point ini, dilakukan dengan bantuan matriks korelasi (pembentukan matriks korelasi sudah difasilitasi pada analisis diskriminan). Pada output SPSS, matriks korelasi bisa dilihat pada Pooled Within-Groups Matrices.
2. Uji Vektor Rata-rata Kedua Kelompok
Ho: μ1 =μ2
H1: μ1 ≠μ2
Diharapkan dari uji ini adalah hipotesis nol ditolak, sehingga kita mempunyai informasi awal bahwa variabel yang sedang diteliti memang membedakan kedua kelompok. Pada SPSS, uji ini dilakukan secara univariate (jadi yang diuji bukan berupa vektor), dengan bantuan tabel Tests of Equality of Group Means.
3. Dilanjutkan pemeriksaan asumsi homoskedastisitas, dengan uji Box’s M. Diharapkan dari uji ini hipotesisi nol tidak ditolak ( Ho: Σ1= Σ2).
4. Pembentukan model diskriminan
a. Kriteria Fungsi Linier Fisher
Pembentukan Fungsi Linier (teoritis)
Fisher mengelompokkan suatu observasi berdasarkan nilai skor yang dihitung dari suatu fungsi linier Y X dimana menyatakan vektor yang berisi koefisien-koefisien variabel penjelas yang membentuk persamaan linier terhadap variabel respon, .
X = ,
menyatakan matriks data pada kelompok ke-k
;
menyatakan observasi ke-i variabel ke-j pada kelompok ke-k.
Di bawah asumsi maka
dan ;
; adalah vektor rata-rata tiap variabel X pada kelompok ke-k
Fisher mentransformasikan observasi-observasi x yang multivariate menjadi observasi y yang univariate. Dari persamaan diperoleh
;
var(ℓ X)=ℓ Σ ℓ
adalah rata-rata Y yang diperoleh dari X yang termasuk dalam kelompok ke-k
adalah varians Y dan diasumsikan sama untuk kedua kelompok.
Kombinasi linier yang terbaik menurut Fisher adalah yang dapat memaksimumkan rasio antara jarak kuadrat rata-rata Y yang diperoleh dari x dari kelompok 1 dan 2 dengan varians Y, atau dirumuskan sebagai berikut:
Jika ( maka persamaan di atas menjadi . Karena adalah matriks definit positif, maka menurut teori pertidaksamaan Cauchy-Schwartz, rasio dapat dimaksimumkan jika
Dengan memilih c=1, menghasilkan kombinasi linier yang disebut kombinasi linier Fisher sebagai berikut:
Pembentukan Fungsi Linier (dengan bantuan SPSS)
Pada output SPSS, koefisien untuk tiap variabel yang masuk dalam model dapat dilihat pada tabel Canonical Discriminant Function Coefficient. Tabel ini akan dihasilkan pada output apabila pilihan Function Coefficient bagian Unstandardized diaktifkan.
Menghitung discriminant score
Setelah dibentuk fungsi liniernya, maka dapat dihitung skor diskriminan untuk tiap observasi dengan memasukkan nilai-nilai variabel penjelasnya.
Menghitung cutting score
Cutting score (m) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut:
nk adalah jumlah sampel ada kelompok ke-k, k=1,2
Kemudian nilai-nilai discriminant score tiap observasi akan dibandingkan dengan cutting score, sehingga dapat diklasifikasikan suatu observasi akan termasuk ke dalam kelompok yang mana. Suatu observasi dengan karakteristik x akan diklasifikasikan sebagai anggota kelompok kode 1 jika m, selain itu dimasukkan ke dalam kelompok 2(kode nol). Penghitungan m dilakukan secara manual, karena SPSS tidak mengeluarkan output m. Namun, kita dapat menghitung m dengan bantuan tabel Function at Group Centroids dari output SPSS.
Penghitungan Hit Ratio (dalam model regresi logistik disebut percentage correct)
Setelah semua observasi diprediksi keanggotaannya, dapat dihitung hit ratio, yaitu rasio antara observasi yang tepat pengklasifikasiannya dengan total seluruh observasi.
Seberapa valid model diskriminan yang telah dihasilkan? Jawaban pertanyaan ini terkait dengan validasi model. SPSS versi 10.0 menggunakan validasi dengan metode Leave One Out. Misalkan ada sebanyak n observasi, akan dibentuk fungsi linier dengan observasi sebanyak n-1. Observasi yang tidak disertakan dalam pembentukan fungsi linier ini akan diprediksi keanggotaannya dengan fungsi yang sudah dibentuk tadi. Proses ini akan diulang dengan kombinasi observasi yang berbeda-beda, sehingga fungsi linier yang dibentuk ada sebanyak n. Inilah yang disebut dengan metode Leave One Out.
b. Kriteria posterior probability
Aturan pengklasifikasian yang ekivalen dengan model linier Fisher adalah berdasarkan nilai peluang suatu observasi dengan karakteristik tertentu (x) berasal dari suatu kelompok. Nilai peluang ini disebut posterior probability dan bisa ditampilkan pada sheet SPSS dengan mengaktifkan option probabilities of group membership pada bagian Save di kotak dialog utama.
dimana
p adalah prior probability kelompok ke-k dan
f (x) =
Suatu observasi dengan karakteristik x akan diklasifikasikan sebagai anggota kelompok 0 jika P(k=0 k=1 . Nilai-nilai posterior probability inilah yang mengisi kolom dis 1_1 dan kolom di 1_2 pada sheet SPSS.
IV. Contoh Aplikasi
Di sebuah laboratorium dilakukan penelitian untuk mengetahui apa saja yang membedakan bunga A dan bunga B yang masih satu species. Untuk itu, diambil sampel bunga A dan B masing-masing sebanyak 10 buah. Kedua bunga dihitung lebar kelopaknya (X1)dan lebar daunnya (X2). Diketahui juga bahwa kedua bunga dapat dijadikan indikator derajat keasaman suatu zat (pH), maka diteliti juga pada trayek pH berapa saja kedua bunga sensitif untuk mendeteksinya(X3). Data yang telah diperoleh akan dianalisis dengan menggunakan analisis diskriminan.
Tabel 3.1 Data karakteristik Bunga A dan Bunga B
X1 X2 X3 Y
4,46209 4,27603 1,43488 0
5,17356 4,03402 1,48285 0
5,27081 3,36186 1,54692 0
4,49723 1,45367 1,27366 0
5,76719 2,13282 1,3265 0
5,91612 3,03981 1,36368 0
5,48373 3,37093 1,32595 0
5,0187 4,92126 1,43008 0
5,43291 3,54893 1,39074 0
4,34865 3,97278 1,38099 0
8,90377 3,51359 1,10593 1
8,37017 4,91499 1,06065 1
8,09676 5,23729 9,2296 1
9,36238 5,69686 1,13544 1
8,62503 5,4649 1,10277 1
9,22858 4,87046 0,10166 1
9,07482 4,90865 9,9952 1
9,84865 5,31779 1,13951 1
8,28943 5,69997 9,8791 1
8,5171 4,99028 8,8796 1
Sumber: Data bangkitan dari Minitab
(telah dimodifikasi)
Untuk melakukan analisis diskriminan dengan bantuan SPSS, ikuti langkah-langkah berikut:
1. Pada menu Analyze, pilih submenu Classify, lalu pilih Discriminant….
2. Kemudian akan muncul kotak dialog.
Gambar 4.1 Tampilan Kotak Dialog Utama Analisis Diskriminan
Bagian Grouping Variable diisi dengan variabel respon dan harus didefinisikan range- nya pada bagian Define Range.
Gambar 4.2 Tampilan Kotak Dialog Define Range
Bagian Minimum diisi dengan kode terkecil dan Maximum diisi dengan kode terbesar dari variabel respon.
Bagian Independents diisi dengan variabel penjelas. Metode yang sering dipaparkan pada literatur-literatur adalah metode bertatar (stepwise), maka kali ini hanya akan diberi contoh penggunaan metode ini. Posterior probability yang dihasilkan dengan metode Enter dan Stepwise agak berbeda, sehingga pada metode Stepwise nilai ketepatan klasifikasinya juga akan berbeda. Berdasarkan literatur-literatur yang pernah dibaca, penulis lebih menyarankan untuk menggunakan metode Stepwise. Untuk menampilkan nilai hit ratio, pada bagian Classify klik Summary Table.
Bagian Save memungkinkan kita untuk menampilkan nilai-nilai posterior probability observasi untuk masuk ke kelompok kode nol(dis1_2), nilai-nilai posterior probability observasi untuk masuk ke kelompok kode satu (dis2_2), nilai-nilai discriminant score (dis1_1), dan pengklasifikasian observasi oleh model (dis_1) pada Sheet SPSS. Misalnya untuk observasi pertama, nilai peluangnya untuk masuk ke dalam kelompok kode nol (1,00000) lebih besar daripada peluangnya untuk masuk dalam kelompok kode satu (0,00000), maka observasi ini akan dimasukkan oleh model ke dalam kelompok kode nol.
Gambar 2.3 Tampilan Posterior Probability, Discriminant Score, dan
Predicted Group Membership pada sheet SPSS
Sampai di sini pengisian kotak dialog dirasa cukup untuk analisis diskriminan. Selanjutnya, kita akan mulai interpretasikan output-outputnya.
Pengecekan multikolinieritas
Dari matriks korelasi di atas, tidak ada angka yang mencapai 0,5 atau di atasnya sehingga kita mengidentifikasi tidak ada multikolinieritas pada data.
Uji Kesamaan vektor rata-rata
Dilihat dari nilai p-value nya, masing-masing variabel mempunyai rata-rata yang berbeda untuk kedua kelompok. Ingat, yang diuji adalah kesamaan rata-rata pada tiap kelompok (kelompok kode nol dan kode satu), bukan rata-rata antar variabel.
Uji Kesamaan matriks varians-covarians(homoskedastisitas)
Tabel di atas memperlihatkan bahwa kita dapat menolak hipotesis nol karena nilai p-valuenya kurang dari 0,05 (dalam hal ini penelitian menggunakan tingkat kepercayaan 95%). Dari hasil pengujian ini, kita dapat mengatakan bahwa data kita berasal dari populasi yang mempunyai matriks varians-covarians yang sama.
Pembentukan fungsi linier
Dari tabel di atas, dapat kita bentuk fungsi liniernya sebagai berikut:
Y= -13,988+1,935X1 +0,163X3
Penghitungan discriminant score
Misalnya untuk observasi pertama, dengan memasukkan nilai X1=4,46209; dan X3=14,3488 maka diperoleh discriminant scorenya sebesar -5,117.
Penghitungan cutting score
Dari tabel di atas, dapat dihitung cutting score nya =
Untuk observasi pertama, karena discriminant score nya kurang dari cutting score, maka dimasukkan ke dalam kelompok kode 0 (pengklasifkasian tepat karena sebenarnya observasi pertama sebelumnya memang termasuk ke dalam anggota kelompok nol atau bunga A).
Hit Ratio
Angka hit ratio di atas sudah mencapai 100% (pada kenyataannya sulit mencapai angka sebesar ini, ingat ini hanya data fiktif yang dibangitkan dengan bantuan komputer).
Pengklasifikasian observasi baru
Jika ada bunga dari species yang sama, dapat diprediksi akan termasuk dalam kelompok mana berdasarkan karakteristik yang dimilikinya dengan fungsi linier yang sudah terbentuk. Inilah yang menjadi tujuan pembentukan fungsi diskriminan.
-Tita Rosy-
Rabu, 02 Desember 2009
Analisis Diskriminan Teori
Analisis Diskiminan
Setelah dilaksanakannya Analisis Gerombol, kemudian dilanjutkan dengan Analisis Diskriminan. Menurut Johnson dan Wichern (1992), tujuan dari Analisis Diskriminan adalah untuk menggambarkan ciri-ciri suatu pengamatan dari bermacam-macam populasi yang diketahui, baik secara grafis maupun aljabar dengan membentuk fungsi diskriminan. Dengan kata lain Analisis Diskriminan digunakan untuk mengklasifikasikan individu ke dalam salah satu dari dua kelompok atau lebih.
Suatu fungsi diskriminan layak untuk dibentuk bila terdapat perbedaan nilai rataan di antara kelompok-kelompok yang ada. Oleh karena itu sebelum fungsi diskriminan dibentuk perlu dilakukan pengujian terhadap perbedaan vektor nilai rataan dari kelompok-kelompok tersebut.
Dalam pengujian vektor nilai rataan antar kelompok, asumsi yang harus dipenuhi adalah:
Peubah-pubah yang diamati menyebar secara normal ganda (multivariate normality)
Semua kelompok populasi mempunyai matrik ragam-peragam yang sama
3.2.4.1 Uji Kenormalan Peubah Ganda
Menurut Karson (1982: 80), untuk menguji kenormalan peubah ganda digunakan prosedur yang dikembangkan oleh Mardia dalam Susiyanto (2003) dengan cara menghitung dua macam ukuran statistik yaitu ukuran skewness (b1,p) dan kurtosis (b2,p), yaitu:
Hipotesa yang digunakan adalah:
H0 : peubah ganda mengikuti sebaran normal
H1 : peubah ganda tidak mengikuti sebaran normal
Bila:
nb1,p /6 , dan
b2,p – p(p + 2) / Z (tabel normal), maka tidak ada alasan untuk menolak H0, berarti peubah ganda mengikuti sebaran normal.
Menurut Johnson dan Wichern (1992), untuk menguji kenormalan ganda adalah dengan mencari nilai jarak kuadrat untuk setiap pengamatan yaitu: , di mana Xj adalah pengamatan yang ke-j dan S-1 adalah kebalikan (inverse) matriks ragam-peragam S
Kemudian diurutkan dari yang paling kecil ke yang paling besar, selanjutnya dibuat plot dengan nilai Chi-Kuadrat dimana: j = urutan = 1, 2, ..., n dan p = banyaknya peubah. Bila hasil plot dapat didekati dengan garis lurus, maka dapat disimpulkan bahwa peubah ganda menyebar normal.
Menurut Nourosis dalam Susiyanto (2003), berdasar teori Wahl dan Kronmal (1977), dikatakan bahwa seringkali kenormalan ganda sulit diperoleh terutama bila sampel yang diambil relatif kecil. Bila hal ini terjadi, uji vektor nilai rataan tetap bisa dilakukan selama asumsi kedua (kesamaan ragam-peragam) dipenuhi.
3.2.4.2 Uji Kesamaan Matrik Ragam Peragam
Untuk menguji kesamaan matrik ragam-peragam () antar kelompok digunakan hipotesa:
H0 : 0 = 1 = 2 = ....k = .
H1 : Sedikitnya ada dua kelompok yang berbeda.
Statistik uji yang digunakan adalah statistik Box’s M, yaitu:
-2ln* =
* =
dimana:
k = banyaknya kelompok.
W / (n-k) = matrik ragam-peragam dalam kelompok gabungan.
Sj = matrik ragam-peragam kelompok ke-j.
Bila hipotesa nol (H0) benar, maka (-2ln*) / b akan mengikuti sebaran F dengan derajat bebas v1 dan v2 pada taraf signifikansi , dimana:
v1 = (1/2)(k –1)p(p + 1)
v2 = (v1+ 2) / (a2 – a12)
b = v1 / (1 – a1 - v1/ v2)
a1 =
a2 =
p = jumlah peubah pembeda dalam fungsi diskriminan.
Sehingga apabila (-2ln*) / b Fv1,v2, maka tidak ada alasan untuk menolak H0 dan dapat disimpulkan bahwa antar kelompok mempunyai matrik ragam-peragam yang sama dan sebaliknya bila (-2ln*) / b > Fv1,v2, maka H0 ditolak, yang berarti bahwa antar kelompok tidak mempunyai matrik ragam–peragam yang sama.
3.2.4.3 Uji Vektor Nilai Rataan
Pengujian terhadap vektor nilai rataan antar kelompok dilakukan dengan hipotesa:
H0 : 0 = 1 = 2 = ...= k
H1 : Sedikitnya ada dua kelompok yang berbeda
Statistik uji yang digunakan dalam pengujian hipotesis tersebut adalah statistik V-Bartlett yang menyebar mengikuti sebaran Chi-kuadrat (2) dengan derajat bebas p(k - 1), apabila H0 benar.
Statistik V-Bartlett diperoleh melalui:
dimana:
n = banyaknya pengamatan
p = banyaknya peubah dalam fungsi diskriminan
k = banyaknya kelompok
Wilk’s lambda
dalam hal ini:
W = matrik jumlah kuadrat dan hasil kali data dalam kelompok
=
B = matrik jumlah kuadrat dan hasil kali data antar kelompok.
=
Xij = pengamatan ke-j kelompok ke-i
= vektor rataan kelompok ke-i
ni = jumlah pengamatan pada kelompok ke-i,
= vektor rataan total
Apabila V maka, tidak ada alasan untuk menolak H0, ini berarti bahwa terdapat perbedaan vektor nilai rataan antar kelompok.
Sebaliknya bila V > maka H0 ditolak.
Bila dari hasil pengujian ada perbedaan vektor nilai rataan, maka fungsi diskriminan layak disusun untuk mengkaji hubungan antar kelompok serta berguna untuk mengelompokkan suatu obyek ke salah satu kelompok tersebut.
Penentuan peubah bebas dalam pembentukan fungsi diskriminan dengan prosedur stepwise
Menurut Nourosis dalam Susiyanto (2003), apabila dalam suatu penelitian menggunakan banyak peubah maka untuk efisiensi dalam menentukan peubah mana yang berperan dalam pembentukan fungsi diskriminan dilakukan melalui analisis diskriminan bertatar (stepwise disciminant). Prosedur ini digunakan untuk menghilangkan informasi dari peubah bebas yang kurang berguna dalam membentuk fungsi diskriminan. Prosedur diskriminan bertatar dimulai dengan pemilihan peubah bebas yang paling berarti.
Kriteria untuk melihat variabel yang paling berarti (peubah yang dapat diikutsertakan dalam pembentukan fungsi diskriminan), yaitu:
1. Peubah yang memiliki nilai F terbesar.
2. Peubah yang memiliki nilai Wilk’s Lambda terkecil.
Peubah yang sudah terpilih bisa dikeluarkan dari fungsi diskriminan jika informasi yang dikandung tentang perbedaan kelompok ada di beberapa kombinasi peubah-peubah terpilih lainnya.
Pembentukan Fungsi Diskriminan
Analisis Diskriminan merupakan teknik statistik yang menggunakan peubah tak bebas Y berupa peubah kategorik dan peubah bebasnya adalah interval atau rasio. Fungsi diskriminan merupakan fungsi atau kombinasi linier peubah-peubah asal yang akan menghasilkan cara terbaik dalam pemisahan kelompok-kelompok. Fungsi ini akan memberikan nilai-nilai yang sedekat mungkin dalam kelompok dan sejauh mungkin antar kelompok (Dillon dalam Solikhah, 2003)
Banyaknya fungsi diskriminan yang terbentuk secara umum tergantung dari min(p,k-1), dengan p adalah banyaknya peubah pembeda dan k adalah banyaknya kelompok yang telah ditetapkan. Fungsi diskriminan ini diartikan sebagai keragaman peubah yang terpilih sebagai kekuatan pembeda. Apabila fungsi diskriminan yang terbentuk sebanyak lebih dari 1, maka dapat dikatakan bahwa fungsi diskriminan pertama akan menjadi kekuatan pembeda yang paling besar, demikian berturut-turut untuk fungsi berikutnya. Fungsi diskriminan yang terbentuk mempunyai bentuk umum berupa persamaan linier (Fisher’s Sample Linear Discriminant Function) yaitu:
…………………………………………….
……………………………………………
dengan i=1,2,…,q (min p,k-1)
j=1,2,…,p
atau dapat ditulis sebagai
dimana:
= koefisien vektor
y = skor diskriminan
Nilai dipilih sedemikian sehingga fungsi diskriminan berbeda sebesar mungkin antara kelompok, atau sehingga rasio antara jumlah kuadrat antar kelompok dengan jumlah kuadrat dalam kelompok maksimum.
Penilaian Kekuatan Fungsi Diskriminan
Untuk mengetahui kekuatan fungsi diskriminan dalam menilai tiap-tiap observasi dan mengelompokkannya ke dalam kelompok yang didefinisikan dapat dilakukan dengan melihat:
1. Korelasi Kanonik (Canonical correlation)
Canonical Correlation (R) merupakan ukuran hubungan antara kelompok yang terbentuk oleh y dengan fungsi diskriminan yang ada. Ketika R adalah nol, maka hal ini dapat diartikan bahwa tidak ada hubungan di antara kelompok-kelompok yang ada dengan fungsi yang terbentuk. Sebaliknya apabila R-nya besar (mendekati 1), maka menunjukkan adanya korelasi yang tinggi antara fungsi diskriminan dengan kelompok yang ada. R ini digunakan untuk menjelaskan seberapa besar masing-masing fungsi berguna dalam menentukan perbedaan kelompok.
2. Akar Ciri (Eigen Value)
Nilai eigen value menunjukkan ada atau tidaknya multikolinearitas atau terjadinya korelasi antar peubah bebas di dalam fungsi diskriminan. Multikolinearitas akan terjadi bila eigen value mendekati 0 (nol).
3. Group Centroid
Group centroid merupakan rata-rata nilai diskriminan dari tiap-tiap observasi di dalam masing-masing kelompok. Semakin besar perbedaan group centroid antar kelompok, maka fungsi diskriminan yang diperoleh semakin dapat membedakan kelompok yang ada.
Ketepatan Pengelompokan
Tingkat akurasi pengelompokkan sangat menentukan baik atau tidaknya suatu pengelompokkan. Persentase ketepatan pengelompokan dapat dihitung dari matrik klasifikasi yang menunjukkan nilai sebenarnya (actual members) dan nilai prediksi (prediction members) dari setiap kelompok.
Rumus persentase ketepatan pengelompokan oleh fungsi diskriminan (hit ratio) adalah:
Hit ratio
dimana : ni = jumlah observasi dari i yang tepat dikelompokkan pada i
nij = jumlah observasi dari i yang salah dikelompokkan pada ij
dengan i =1,2,…,k dan j =1,2,…,k
Dalam prakteknya, hasil dari hit ratio ini sering dibandingkan dengan suatu standar persentase tertentu. Ada 2 (dua) standar persentase yang sering digunakan yaitu kriteria peluang proporsional (the proportional chance criterion) dan kriteria peluang maksimum (the maximum chance criterion).
Kriteria peluang proporsional digunakan jika ukuran masing-masing kelompok tidak sama dan peneliti ingin mengidentifikasi dengan tepat tiap-tiap observasi dari 2 (dua) kelompok atau lebih. Rumus yang digunakan untuk kriteria peluang proporsional ini adalah:
Cproporsional =
dimana:
Cproporsional = kriteria peluang proporsional dari model peluang.
p = proporsi jumlah observasi dari kelompok.
Kriteria peluang maksimum ditentukan dengan menghitung persentase total observasi yang ditunjukkan oleh persentase terbesar dari dua kelompok atau lebih.
Hair et. Al dalam Solikhah (2003) menyarankan bahwa persentase ketepatan pengklasifikasian yang diperoleh melalui analisis diskriminan paling tidak 25 persen lebih besar dari persentase yang diperoleh melalui model peluang.
Setelah dilaksanakannya Analisis Gerombol, kemudian dilanjutkan dengan Analisis Diskriminan. Menurut Johnson dan Wichern (1992), tujuan dari Analisis Diskriminan adalah untuk menggambarkan ciri-ciri suatu pengamatan dari bermacam-macam populasi yang diketahui, baik secara grafis maupun aljabar dengan membentuk fungsi diskriminan. Dengan kata lain Analisis Diskriminan digunakan untuk mengklasifikasikan individu ke dalam salah satu dari dua kelompok atau lebih.
Suatu fungsi diskriminan layak untuk dibentuk bila terdapat perbedaan nilai rataan di antara kelompok-kelompok yang ada. Oleh karena itu sebelum fungsi diskriminan dibentuk perlu dilakukan pengujian terhadap perbedaan vektor nilai rataan dari kelompok-kelompok tersebut.
Dalam pengujian vektor nilai rataan antar kelompok, asumsi yang harus dipenuhi adalah:
Peubah-pubah yang diamati menyebar secara normal ganda (multivariate normality)
Semua kelompok populasi mempunyai matrik ragam-peragam yang sama
3.2.4.1 Uji Kenormalan Peubah Ganda
Menurut Karson (1982: 80), untuk menguji kenormalan peubah ganda digunakan prosedur yang dikembangkan oleh Mardia dalam Susiyanto (2003) dengan cara menghitung dua macam ukuran statistik yaitu ukuran skewness (b1,p) dan kurtosis (b2,p), yaitu:
Hipotesa yang digunakan adalah:
H0 : peubah ganda mengikuti sebaran normal
H1 : peubah ganda tidak mengikuti sebaran normal
Bila:
nb1,p /6 , dan
b2,p – p(p + 2) / Z (tabel normal), maka tidak ada alasan untuk menolak H0, berarti peubah ganda mengikuti sebaran normal.
Menurut Johnson dan Wichern (1992), untuk menguji kenormalan ganda adalah dengan mencari nilai jarak kuadrat untuk setiap pengamatan yaitu: , di mana Xj adalah pengamatan yang ke-j dan S-1 adalah kebalikan (inverse) matriks ragam-peragam S
Kemudian diurutkan dari yang paling kecil ke yang paling besar, selanjutnya dibuat plot dengan nilai Chi-Kuadrat dimana: j = urutan = 1, 2, ..., n dan p = banyaknya peubah. Bila hasil plot dapat didekati dengan garis lurus, maka dapat disimpulkan bahwa peubah ganda menyebar normal.
Menurut Nourosis dalam Susiyanto (2003), berdasar teori Wahl dan Kronmal (1977), dikatakan bahwa seringkali kenormalan ganda sulit diperoleh terutama bila sampel yang diambil relatif kecil. Bila hal ini terjadi, uji vektor nilai rataan tetap bisa dilakukan selama asumsi kedua (kesamaan ragam-peragam) dipenuhi.
3.2.4.2 Uji Kesamaan Matrik Ragam Peragam
Untuk menguji kesamaan matrik ragam-peragam () antar kelompok digunakan hipotesa:
H0 : 0 = 1 = 2 = ....k = .
H1 : Sedikitnya ada dua kelompok yang berbeda.
Statistik uji yang digunakan adalah statistik Box’s M, yaitu:
-2ln* =
* =
dimana:
k = banyaknya kelompok.
W / (n-k) = matrik ragam-peragam dalam kelompok gabungan.
Sj = matrik ragam-peragam kelompok ke-j.
Bila hipotesa nol (H0) benar, maka (-2ln*) / b akan mengikuti sebaran F dengan derajat bebas v1 dan v2 pada taraf signifikansi , dimana:
v1 = (1/2)(k –1)p(p + 1)
v2 = (v1+ 2) / (a2 – a12)
b = v1 / (1 – a1 - v1/ v2)
a1 =
a2 =
p = jumlah peubah pembeda dalam fungsi diskriminan.
Sehingga apabila (-2ln*) / b Fv1,v2, maka tidak ada alasan untuk menolak H0 dan dapat disimpulkan bahwa antar kelompok mempunyai matrik ragam-peragam yang sama dan sebaliknya bila (-2ln*) / b > Fv1,v2, maka H0 ditolak, yang berarti bahwa antar kelompok tidak mempunyai matrik ragam–peragam yang sama.
3.2.4.3 Uji Vektor Nilai Rataan
Pengujian terhadap vektor nilai rataan antar kelompok dilakukan dengan hipotesa:
H0 : 0 = 1 = 2 = ...= k
H1 : Sedikitnya ada dua kelompok yang berbeda
Statistik uji yang digunakan dalam pengujian hipotesis tersebut adalah statistik V-Bartlett yang menyebar mengikuti sebaran Chi-kuadrat (2) dengan derajat bebas p(k - 1), apabila H0 benar.
Statistik V-Bartlett diperoleh melalui:
dimana:
n = banyaknya pengamatan
p = banyaknya peubah dalam fungsi diskriminan
k = banyaknya kelompok
Wilk’s lambda
dalam hal ini:
W = matrik jumlah kuadrat dan hasil kali data dalam kelompok
=
B = matrik jumlah kuadrat dan hasil kali data antar kelompok.
=
Xij = pengamatan ke-j kelompok ke-i
= vektor rataan kelompok ke-i
ni = jumlah pengamatan pada kelompok ke-i,
= vektor rataan total
Apabila V maka, tidak ada alasan untuk menolak H0, ini berarti bahwa terdapat perbedaan vektor nilai rataan antar kelompok.
Sebaliknya bila V > maka H0 ditolak.
Bila dari hasil pengujian ada perbedaan vektor nilai rataan, maka fungsi diskriminan layak disusun untuk mengkaji hubungan antar kelompok serta berguna untuk mengelompokkan suatu obyek ke salah satu kelompok tersebut.
Penentuan peubah bebas dalam pembentukan fungsi diskriminan dengan prosedur stepwise
Menurut Nourosis dalam Susiyanto (2003), apabila dalam suatu penelitian menggunakan banyak peubah maka untuk efisiensi dalam menentukan peubah mana yang berperan dalam pembentukan fungsi diskriminan dilakukan melalui analisis diskriminan bertatar (stepwise disciminant). Prosedur ini digunakan untuk menghilangkan informasi dari peubah bebas yang kurang berguna dalam membentuk fungsi diskriminan. Prosedur diskriminan bertatar dimulai dengan pemilihan peubah bebas yang paling berarti.
Kriteria untuk melihat variabel yang paling berarti (peubah yang dapat diikutsertakan dalam pembentukan fungsi diskriminan), yaitu:
1. Peubah yang memiliki nilai F terbesar.
2. Peubah yang memiliki nilai Wilk’s Lambda terkecil.
Peubah yang sudah terpilih bisa dikeluarkan dari fungsi diskriminan jika informasi yang dikandung tentang perbedaan kelompok ada di beberapa kombinasi peubah-peubah terpilih lainnya.
Pembentukan Fungsi Diskriminan
Analisis Diskriminan merupakan teknik statistik yang menggunakan peubah tak bebas Y berupa peubah kategorik dan peubah bebasnya adalah interval atau rasio. Fungsi diskriminan merupakan fungsi atau kombinasi linier peubah-peubah asal yang akan menghasilkan cara terbaik dalam pemisahan kelompok-kelompok. Fungsi ini akan memberikan nilai-nilai yang sedekat mungkin dalam kelompok dan sejauh mungkin antar kelompok (Dillon dalam Solikhah, 2003)
Banyaknya fungsi diskriminan yang terbentuk secara umum tergantung dari min(p,k-1), dengan p adalah banyaknya peubah pembeda dan k adalah banyaknya kelompok yang telah ditetapkan. Fungsi diskriminan ini diartikan sebagai keragaman peubah yang terpilih sebagai kekuatan pembeda. Apabila fungsi diskriminan yang terbentuk sebanyak lebih dari 1, maka dapat dikatakan bahwa fungsi diskriminan pertama akan menjadi kekuatan pembeda yang paling besar, demikian berturut-turut untuk fungsi berikutnya. Fungsi diskriminan yang terbentuk mempunyai bentuk umum berupa persamaan linier (Fisher’s Sample Linear Discriminant Function) yaitu:
…………………………………………….
……………………………………………
dengan i=1,2,…,q (min p,k-1)
j=1,2,…,p
atau dapat ditulis sebagai
dimana:
= koefisien vektor
y = skor diskriminan
Nilai dipilih sedemikian sehingga fungsi diskriminan berbeda sebesar mungkin antara kelompok, atau sehingga rasio antara jumlah kuadrat antar kelompok dengan jumlah kuadrat dalam kelompok maksimum.
Penilaian Kekuatan Fungsi Diskriminan
Untuk mengetahui kekuatan fungsi diskriminan dalam menilai tiap-tiap observasi dan mengelompokkannya ke dalam kelompok yang didefinisikan dapat dilakukan dengan melihat:
1. Korelasi Kanonik (Canonical correlation)
Canonical Correlation (R) merupakan ukuran hubungan antara kelompok yang terbentuk oleh y dengan fungsi diskriminan yang ada. Ketika R adalah nol, maka hal ini dapat diartikan bahwa tidak ada hubungan di antara kelompok-kelompok yang ada dengan fungsi yang terbentuk. Sebaliknya apabila R-nya besar (mendekati 1), maka menunjukkan adanya korelasi yang tinggi antara fungsi diskriminan dengan kelompok yang ada. R ini digunakan untuk menjelaskan seberapa besar masing-masing fungsi berguna dalam menentukan perbedaan kelompok.
2. Akar Ciri (Eigen Value)
Nilai eigen value menunjukkan ada atau tidaknya multikolinearitas atau terjadinya korelasi antar peubah bebas di dalam fungsi diskriminan. Multikolinearitas akan terjadi bila eigen value mendekati 0 (nol).
3. Group Centroid
Group centroid merupakan rata-rata nilai diskriminan dari tiap-tiap observasi di dalam masing-masing kelompok. Semakin besar perbedaan group centroid antar kelompok, maka fungsi diskriminan yang diperoleh semakin dapat membedakan kelompok yang ada.
Ketepatan Pengelompokan
Tingkat akurasi pengelompokkan sangat menentukan baik atau tidaknya suatu pengelompokkan. Persentase ketepatan pengelompokan dapat dihitung dari matrik klasifikasi yang menunjukkan nilai sebenarnya (actual members) dan nilai prediksi (prediction members) dari setiap kelompok.
Rumus persentase ketepatan pengelompokan oleh fungsi diskriminan (hit ratio) adalah:
Hit ratio
dimana : ni = jumlah observasi dari i yang tepat dikelompokkan pada i
nij = jumlah observasi dari i yang salah dikelompokkan pada ij
dengan i =1,2,…,k dan j =1,2,…,k
Dalam prakteknya, hasil dari hit ratio ini sering dibandingkan dengan suatu standar persentase tertentu. Ada 2 (dua) standar persentase yang sering digunakan yaitu kriteria peluang proporsional (the proportional chance criterion) dan kriteria peluang maksimum (the maximum chance criterion).
Kriteria peluang proporsional digunakan jika ukuran masing-masing kelompok tidak sama dan peneliti ingin mengidentifikasi dengan tepat tiap-tiap observasi dari 2 (dua) kelompok atau lebih. Rumus yang digunakan untuk kriteria peluang proporsional ini adalah:
Cproporsional =
dimana:
Cproporsional = kriteria peluang proporsional dari model peluang.
p = proporsi jumlah observasi dari kelompok.
Kriteria peluang maksimum ditentukan dengan menghitung persentase total observasi yang ditunjukkan oleh persentase terbesar dari dua kelompok atau lebih.
Hair et. Al dalam Solikhah (2003) menyarankan bahwa persentase ketepatan pengklasifikasian yang diperoleh melalui analisis diskriminan paling tidak 25 persen lebih besar dari persentase yang diperoleh melalui model peluang.
Analisis Diskriminan
3.4 Teknik Analisis Data
Teknik analisis yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah analisis diskriminan. Ada tiga alasan dipilihnya analisis diskriminan sebagai teknik analisis dalam penelitian ini. Pertama, tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui rasio-rasio keuangan yang dapat mengindikasikan solvabilitas (solvent atau tidaknya) suatu perusahaan, sehingga teknik yang sesuai adalah teknik analisis diskriminan. Kedua, analisis diskriminan dapat mengatasi kelemahan dari analisis rasio keuangan yang bersifat univariate, yang artinya setiap rasio diuji secara terpisah, pengaruh kombinasi dari beberapa rasio hanya didasarkan pada pertimbangan para analis keuangan. Ketiga, asumsi yang digunakan dalam analisis diskriminan relatif sedikit yaitu hanya asumsi kenormalan multivariat dan kesamaan matrik kovarian antara kelompok yang ada. Bahkan Hair et al. (1987 : 76) mengatakan bahwa analisis diskriminan tidak terlalu sensitif dengan pelanggaran asumsi ini, kecuali pelanggarannya bersifat ekstrim. Dan Johnson and Wichern (1988: 472) mengatakan hal yang sama bahwa asumsi ini (kesamaan matrik kovarian) di dalam praktiknya sering dilanggar.
Analisis diskriminan adalah bagian dari analisa statistik peubah ganda (multivariate statistical analysis) yang bertujuan untuk memisahkan beberapa kelompok data yang sudah terkelompokkan dengan cara membentuk fungsi diskriminan.
Menurut Johnson and Wichern (1982 : 470), tujuan dari analisis disriminan adalah untuk menggambarkan ciri-ciri suatu pengamatan dari bermacam-macam populasi yang diketahui, baik secara grafis maupun aljabar dengan membentuk fungsi diskriminan. Dengan kata lain analisis diskriminan digunakan untuk mngklasifikasikan individu ke dalam salah satu dari dua kelompok atau lebih.
Kaitannya dengan penelitian ini, dengan fungsi diskriminan ini dimaksudkan untuk memprediksi solvabilitas (solvent atau tidaknya) perusahaan go-public sektor 3, 4, dan 5 satu tahun yang akan datang (t + 1) dengan memperhatikan rasio-rasio keuangan perusahaan tersebut pada tahun sekarang (t).
Suatu fungsi diskriminan layak untuk dibentuk bila terdapat perbedaan nilai rataan di antara kelompok-kelompok yang ada. Oleh karena itu sebelum fungsi diskriminan dibentuk perlu dilakukan pengujian terhadap perbedaan vektor nilai rataan dari kelompok-kelompok tersebut.
Hipotesis yang digunakan dalam pengujian terhadap perbedaan vektor nilai rataan tersebut adalah:
H0 : 0 = 1 = 2 = ...= k
H1 : Sedikitnya ada dua kelompok yang berbeda
Bila ada perbedaan (H0 ditolak), maka fungsi diskriminan dapat dibentuk.
Sedangkan dalam pengujian vektor nilai rataan antar kelompok, asumsi yang harus dipenuhi adalah:
• Peubah-pubah yang diamati menyebar secara normal ganda (multivariate normality) yang berarti bahwa :
H0 : Peubah ganda mengikuti sebaran normal ganda (multivariate normality).
H1 : Peubah ganda tidak mengikuti sebaran normal ganda.
• Semua kelompok populasi mempunyai matrik ragam-peragam yang sama yang berarti bahwa:
H0 : 0 = 1 = 2 = ....k, = Equality of Covariance Matrik
H1 : Sedikitnya ada dua kelompok yang berbeda (2 k < p)
P = banyaknya variabel pembeda.
3.4.1 Uji Kenormalan Peubah Ganda
Menurut Karson (1982 : 80), untuk menguji kenormalan peubah ganda digunakan prosedur yang dikembangkan oleh Mardia (1970) dengan cara menghitung dua macam ukuran statistik yaitu ukuran skewness (b1,p) dan kurtosis (b2,p), yaitu:
(3.4.1.1)
(3.4.1.2)
Hipotesa yang digunakan adalah:
H0 : peubah ganda mengikuti sebaran normal
H1 : peubah ganda tidak mengikuti sebaran normal
Bila:
nb1,p /6 , dan
b2,p – p(p + 2) / Z (tabel normal), maka H0 diterima, berarti peubah ganda mengikuti sebaran normal.
Menurut Johnson and Wichern (1982 : 152), untuk menguji kenormalan ganda adalah dengan mencari nilai jarak kuadrat untuk setiap pengamatan yaitu: , di mana Xj adalah pengamatan yang ke-j dan S-1 adalah kebalikan (inverse) matriks ragam-peragam S
Kemudian diurutkan dari yang paling kecil ke yang paling besar, selanjutnya dibuat plot dengan nilai Chi-Kuadrat di mana: j = urutan = 1, 2, ..., n dan p = banyaknya peubah. Bila hasil plot dapat didekati dengan garis lurus, maka dapat disimpulkan bahwa peubah ganda menyebar normal.
Menurut Nurosis (1986), berdasar teori Wahl dan Kronmal (1977), dikatakan bahwa seringkali kenormalan ganda sulit diperoleh terutama bila sampel yang diambil relatif kecil. Bila hal ini terjadi, uji vektor nilai rataan tetap bisa dilakukan selama asumsi kedua (kesamaan ragam-peragam) dipenuhi.
3.4.2 Uji Kesamaan Matrik Ragam Peragam
Untuk menguji kesamaan matrik ragam-peragam () antar kelompok digunakan hipotesa:
H0 : 0 = 1 = 2 = ....k = .
H1 : Sedikitnya ada dua kelompok yang berbeda.
Statistik uji yang digunakan adalah statistik Box’s M, yaitu:
-2ln* = (3.4.2.1)
* = (3.4.2.1)
dimana :
k = banyaknya kelompok.
W / (n-k) = matrik ragam-peragam dalam kelompok gabungan.
Sj = matrik ragam-peragam kelompok ke-j.
Bila hipotesa nol (H0) benar, maka (-2ln*) / b akan mengikuti sebaran F dengan derajat bebas v1 dan v2 pada taraf signifikansi , di mana:
v1 = (1/2)(k –1)p(p + 1)
v2 = (v1+ 2) / (a2 – a12)
b = v1 / (1 – a1 - v1/ v1)
a1 =
a2 = (3.4.2.3)
p = jumlah peubah pembeda dalam fungsi diskriminan.
Sehingga apabila (-2ln*) / b Fv1,v2, maka tidak ada alasan untuk menolak H0 dan dapat disimpulkan bahwa antar kelompok mempunyai matrik ragam-peragam yang sama dan sebaliknya bila (-2ln*) / b > Fv1,v2, maka H0 ditolak.
3.4.3 Uji Vektor Nilai Rataan
Pengujian terhadap vektor nilai rataan antar kelompok dilakukan dengan hipotesa:
H0 : 0 = 1 = 2 = ...= k
H1 : Sedikitnya ada dua kelompok yang berbeda
Statistik uji yang digunakan dalam pengujian hipotesis tersebut adalah statistik V-Bartlett yang menyebar mengikuti sebaran Chi-kuadrat (2) dengan derajat bebas p(k - 1), apabila H0 benar.
Statistik V-Bartlett diperoleh melalui:
(3.4.3.1)
dimana:
n = banyaknya pengamatan
p = banyaknya peubah dalam fungsi diskriminan
k = banyaknya kelompok
Wilk’s lambda
dalam hal ini:
W= matrik jumlah kuadrat dan hasil kali data dalam kelompok
= (3.4.3.2)
B = matrik jumlah kuadrat dan hasil kali data antar kelompok.
= (3.4.3.3)
Xij = pengamatan ke-j kelompok ke-i
= vektor rataan kelompok ke-i
ni = jumlah pengamatan pada kelompok ke-i,
= vektor rataan total
Apabila V maka, tidak ada alasan untuk menolak H0, ini berarti bahwa terdapat perbedaan vektor nilai rataan antar kelompok.
Sebaliknya bila V > maka H0 ditolak.
Bila dari hasil pengujian ada perbedaan vektor nilai rataan, maka fungsi diskriminan layak untuk disusun untuk mengkaji hubungan antar kelompok serta berguna untuk mengelompokkan suatu obyek baru ke dalam salah satu kelompok tersebut.
3.4.4 Penyusunan Fungsi Diskriminan
Analisis diskriminan merupakan teknik statistik yang menggunakan variabel dependen Y berupa variabel kategorik dan variabel bebasnya adalah interval dan atau rasio. Dalam analisis diskriminan observasi-observasi dipisahkan atau dikelompokkan berdasarkan pengukuran terhadap sejumlah p random variabel. Dimana sejumlah kelompok harus memenuhi 2 k < p, dimana p adalah banyaknya variabel pembeda. Fungsi diskriminan yang mempunyai bentuk umum berupa persamaan linier (Fisher’s Sample Linear Discriminant Function) yaitu:
atau dapat ditulis sebagai
(3.4.4.1)
dimana:
y = skor diskriminan/variabel bebas
= vektor koefisien estimasi
x’ = x1, x2, ..., xp = vektor variabel independen
Nilai dipilih sedemikian sehingga fungsi diskriminan berbeda sebesar mungkin antara kedua kelompok, atau sehingga rasio antara between-groups sum of squares dengan within-groups sum of squares maksimum. Johnson dan Wichern (1988) mengatakan bahwa untuk kelompok, nilai yang memaksimumkan rasio tersebut adalah:
(3.4.4.2)
dimana:
= rata-rata sampel populasi-1
= rata-rata sampel populasi-2
= kovarian sampel gabungan
Pengujian fungsi diskriminan dilakukan untuk mengetahui kelayakan fungsi diskriminan tersebut dalam memindahkan observasi-observasi ke dalam kelompok- kelompok yang didefinisikan. Pengujian yang umum adalah dengan melihat perbandingan variabilitas skor dalam kelompok terhadap variabilitas skor total, yang dikenal dengan statitik Wilk’s Lambda. Statistik ini sebenarnya adalah proporsi total variasi skor diskriminan yang tidak dapat diterangkan oleh perbedaan di antara kelompok (baru). Untuk melihat signifikansi perbedaannya, statistik Wilk’s Lambda ditransformasikan kedalam statistik Chi-Square.(Johnson dan Wichern, 1988). Setelah diuji tingkat signifikansinya, fungsi diskriminan yang signifikan dapat digunakan untuk mengklasifikasikan observasi-observasi baru ke dalam kelompok-kelompok tadi.
Pengujian fungsi diskriminan dapat juga dilakukan dengan menggunakan persentase observasi yang klasifikasinya tidak berubah, yaitu persentase observasi yang klasifikasinya menggunakan diskriminan tidak berbeda dengan klaifikasinya dalam kelompok acuan. Menurut Hair et al., (1987) pada besar persentase observasi yang klasifikasinya tidak berubah tersebut kurang dari suatu standar tertentu, fungsi diskriminan tidak baik digunakan dalam analisis. Ada 2 standar persentase yang digunakan yaitu kriteria peluang proporsional (proportional chance criterion) dan kriteria peluang maksimum (maximum chance criterion). Kriteria peluang proporsional ditentukan dengan rumus:
Cprop = p2 + (1 - p)2 (3.4.4.3)
Di mana:
Cprop = kriteria proporsional dari model chance.
P = proporsi perusahaan dalam kelompok-1.
(1 – p) = proporsi peluang dalam kelompok-2.
Kriteria peluang maksimum ditentukan dengan menghitung total sampel yang ditunjukkan oleh kelompok dengan prior probability terbesar. Rumusnya adalah:
Cmax = prior probability (3.4.4.4)
Suatu observasi diukur berdasarkan semua variabel independen yang digunakan dan kemudian dimasukkan ke dalam fungsi diskriminan untuk memperoleh skornya. Kriteria pengelompokan ke dalam kelompok-kelompok yang ada adalah berdasarkan skor batas. Jika hanya ada 2 kelompok yang didefinisikan dan bila sampel dari kedua kelompok berbeda, maka rata-rata kelompok harus ditimbang dengan jumlah sampel. Maka skor batas yang digunakan adalah:
(3.4.4.5)
dimana:
= rata-rata skor diskriminan dari populasi (kelompok)-1
= rata-rata skor diskriminan dari populasi (kelompok)-2
n1 = jumlah sampel dari kelompok 1
n2= jumlah sampel dari kelompok 2
n = n1 + n2
Selisih antara skor observasi (y) dengan nilai ini adalah statistik Wald-Anderson W (W = y - ). Oleh karena itu aturan klasifikasi yang digunakan adalah (Morrison, 1976):
Klasifikasikan observasi ke observasi solvent jika W ≥ 0
Klasifikasikan observasi ke observasi insolvent jika W < 0
Peluang tepat pengelompokan dapat dihitung dari matriks yang menunjukkan nilai sebenarnya (actual members) dan nilai prediksi (prediction members) dari setiap group. Untuk n1 penelitian dari populasi satu (1) dan n2 penelitian dari populasi dua (2) diperoleh matriks sebagai berikut:
Nilai Prediksi
1 2
Nilai Sebenarnya 1 n1c n1m = n1 – n1c n1
2 n2m = n2 – n2c n2c n2
Dimana:
n1c = jumlah dari 1 item yang tepat dikelompokkan pada 1 item
n1m = jumlah dari 1 item yang salah dikelompokkan pada 2 item
n2c = jumlah dari 2 item yang tepat dikelompokkan pada 2 item
n2m = jumlah dari 2 item yang salah dikelompokkan pada 1 item
Rumus dari peluang tepat pengelompokan adalah:
Persentase tepat pengelompokan
3.4.5 Prosedur Bertatar (stepwise)
Menurut Nourosis (1986), apabila dalam suatu penelitian menggunakan banyak peubah maka untuk efisiensi dalam menentukan peubah mana yang berperan dalam pembentukan fungsi diskriminan dilakukan melalui analisis diskriminan bertatar (stepwise disciminant). Prosedur ini digunakan untuk menghilangkan informasi dari peubah yang kurang berguna dalam membentuk fungsi diskriminan. Prosedur diskriminan bertatar dimulai dengan pemilihan peubah ganda yang paling berarti.
Untuk melihat peubah yang paling berarti (peubah yang dapat diikutsertakan dalam pembentukan fungsi diskriminan), dapat dilakukan dengan beberapa kriteria, yaitu:
1. Peubah yang memiliki nilai F terbesar.
2. Peubah yang memiliki nilai Wilk’s Lambda terkecil.
Nilai minimum dari F to enter adalah 3,84 dan nilai maksimum dari F to remove adalah 2,71. Nilai dari kedua F ini diperoleh dari rumus:
(3.4.5.1)
dimana n adalah total dari jumlah baris, g adalah jumlah kelompok, p adalah independent variabel yang ditambahkan, p adalah Wilk’s Lambda sebelum penambahan variabel dan p+1 adalah Wilk’s Lambda setelah penambahan/pemasukan variabel. Namun, peubah yang sudah terpilih bisa dikeluarkan dari fungsi diskriminan jika informasi yang dikandung tentang perbedaan kelompok ada di beberapa kombinasi peubah-peubah terpilih lainnya (Hair et al., 1987).
sumer: Lupa/^^
Teknik analisis yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah analisis diskriminan. Ada tiga alasan dipilihnya analisis diskriminan sebagai teknik analisis dalam penelitian ini. Pertama, tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui rasio-rasio keuangan yang dapat mengindikasikan solvabilitas (solvent atau tidaknya) suatu perusahaan, sehingga teknik yang sesuai adalah teknik analisis diskriminan. Kedua, analisis diskriminan dapat mengatasi kelemahan dari analisis rasio keuangan yang bersifat univariate, yang artinya setiap rasio diuji secara terpisah, pengaruh kombinasi dari beberapa rasio hanya didasarkan pada pertimbangan para analis keuangan. Ketiga, asumsi yang digunakan dalam analisis diskriminan relatif sedikit yaitu hanya asumsi kenormalan multivariat dan kesamaan matrik kovarian antara kelompok yang ada. Bahkan Hair et al. (1987 : 76) mengatakan bahwa analisis diskriminan tidak terlalu sensitif dengan pelanggaran asumsi ini, kecuali pelanggarannya bersifat ekstrim. Dan Johnson and Wichern (1988: 472) mengatakan hal yang sama bahwa asumsi ini (kesamaan matrik kovarian) di dalam praktiknya sering dilanggar.
Analisis diskriminan adalah bagian dari analisa statistik peubah ganda (multivariate statistical analysis) yang bertujuan untuk memisahkan beberapa kelompok data yang sudah terkelompokkan dengan cara membentuk fungsi diskriminan.
Menurut Johnson and Wichern (1982 : 470), tujuan dari analisis disriminan adalah untuk menggambarkan ciri-ciri suatu pengamatan dari bermacam-macam populasi yang diketahui, baik secara grafis maupun aljabar dengan membentuk fungsi diskriminan. Dengan kata lain analisis diskriminan digunakan untuk mngklasifikasikan individu ke dalam salah satu dari dua kelompok atau lebih.
Kaitannya dengan penelitian ini, dengan fungsi diskriminan ini dimaksudkan untuk memprediksi solvabilitas (solvent atau tidaknya) perusahaan go-public sektor 3, 4, dan 5 satu tahun yang akan datang (t + 1) dengan memperhatikan rasio-rasio keuangan perusahaan tersebut pada tahun sekarang (t).
Suatu fungsi diskriminan layak untuk dibentuk bila terdapat perbedaan nilai rataan di antara kelompok-kelompok yang ada. Oleh karena itu sebelum fungsi diskriminan dibentuk perlu dilakukan pengujian terhadap perbedaan vektor nilai rataan dari kelompok-kelompok tersebut.
Hipotesis yang digunakan dalam pengujian terhadap perbedaan vektor nilai rataan tersebut adalah:
H0 : 0 = 1 = 2 = ...= k
H1 : Sedikitnya ada dua kelompok yang berbeda
Bila ada perbedaan (H0 ditolak), maka fungsi diskriminan dapat dibentuk.
Sedangkan dalam pengujian vektor nilai rataan antar kelompok, asumsi yang harus dipenuhi adalah:
• Peubah-pubah yang diamati menyebar secara normal ganda (multivariate normality) yang berarti bahwa :
H0 : Peubah ganda mengikuti sebaran normal ganda (multivariate normality).
H1 : Peubah ganda tidak mengikuti sebaran normal ganda.
• Semua kelompok populasi mempunyai matrik ragam-peragam yang sama yang berarti bahwa:
H0 : 0 = 1 = 2 = ....k, = Equality of Covariance Matrik
H1 : Sedikitnya ada dua kelompok yang berbeda (2 k < p)
P = banyaknya variabel pembeda.
3.4.1 Uji Kenormalan Peubah Ganda
Menurut Karson (1982 : 80), untuk menguji kenormalan peubah ganda digunakan prosedur yang dikembangkan oleh Mardia (1970) dengan cara menghitung dua macam ukuran statistik yaitu ukuran skewness (b1,p) dan kurtosis (b2,p), yaitu:
(3.4.1.1)
(3.4.1.2)
Hipotesa yang digunakan adalah:
H0 : peubah ganda mengikuti sebaran normal
H1 : peubah ganda tidak mengikuti sebaran normal
Bila:
nb1,p /6 , dan
b2,p – p(p + 2) / Z (tabel normal), maka H0 diterima, berarti peubah ganda mengikuti sebaran normal.
Menurut Johnson and Wichern (1982 : 152), untuk menguji kenormalan ganda adalah dengan mencari nilai jarak kuadrat untuk setiap pengamatan yaitu: , di mana Xj adalah pengamatan yang ke-j dan S-1 adalah kebalikan (inverse) matriks ragam-peragam S
Kemudian diurutkan dari yang paling kecil ke yang paling besar, selanjutnya dibuat plot dengan nilai Chi-Kuadrat di mana: j = urutan = 1, 2, ..., n dan p = banyaknya peubah. Bila hasil plot dapat didekati dengan garis lurus, maka dapat disimpulkan bahwa peubah ganda menyebar normal.
Menurut Nurosis (1986), berdasar teori Wahl dan Kronmal (1977), dikatakan bahwa seringkali kenormalan ganda sulit diperoleh terutama bila sampel yang diambil relatif kecil. Bila hal ini terjadi, uji vektor nilai rataan tetap bisa dilakukan selama asumsi kedua (kesamaan ragam-peragam) dipenuhi.
3.4.2 Uji Kesamaan Matrik Ragam Peragam
Untuk menguji kesamaan matrik ragam-peragam () antar kelompok digunakan hipotesa:
H0 : 0 = 1 = 2 = ....k = .
H1 : Sedikitnya ada dua kelompok yang berbeda.
Statistik uji yang digunakan adalah statistik Box’s M, yaitu:
-2ln* = (3.4.2.1)
* = (3.4.2.1)
dimana :
k = banyaknya kelompok.
W / (n-k) = matrik ragam-peragam dalam kelompok gabungan.
Sj = matrik ragam-peragam kelompok ke-j.
Bila hipotesa nol (H0) benar, maka (-2ln*) / b akan mengikuti sebaran F dengan derajat bebas v1 dan v2 pada taraf signifikansi , di mana:
v1 = (1/2)(k –1)p(p + 1)
v2 = (v1+ 2) / (a2 – a12)
b = v1 / (1 – a1 - v1/ v1)
a1 =
a2 = (3.4.2.3)
p = jumlah peubah pembeda dalam fungsi diskriminan.
Sehingga apabila (-2ln*) / b Fv1,v2, maka tidak ada alasan untuk menolak H0 dan dapat disimpulkan bahwa antar kelompok mempunyai matrik ragam-peragam yang sama dan sebaliknya bila (-2ln*) / b > Fv1,v2, maka H0 ditolak.
3.4.3 Uji Vektor Nilai Rataan
Pengujian terhadap vektor nilai rataan antar kelompok dilakukan dengan hipotesa:
H0 : 0 = 1 = 2 = ...= k
H1 : Sedikitnya ada dua kelompok yang berbeda
Statistik uji yang digunakan dalam pengujian hipotesis tersebut adalah statistik V-Bartlett yang menyebar mengikuti sebaran Chi-kuadrat (2) dengan derajat bebas p(k - 1), apabila H0 benar.
Statistik V-Bartlett diperoleh melalui:
(3.4.3.1)
dimana:
n = banyaknya pengamatan
p = banyaknya peubah dalam fungsi diskriminan
k = banyaknya kelompok
Wilk’s lambda
dalam hal ini:
W= matrik jumlah kuadrat dan hasil kali data dalam kelompok
= (3.4.3.2)
B = matrik jumlah kuadrat dan hasil kali data antar kelompok.
= (3.4.3.3)
Xij = pengamatan ke-j kelompok ke-i
= vektor rataan kelompok ke-i
ni = jumlah pengamatan pada kelompok ke-i,
= vektor rataan total
Apabila V maka, tidak ada alasan untuk menolak H0, ini berarti bahwa terdapat perbedaan vektor nilai rataan antar kelompok.
Sebaliknya bila V > maka H0 ditolak.
Bila dari hasil pengujian ada perbedaan vektor nilai rataan, maka fungsi diskriminan layak untuk disusun untuk mengkaji hubungan antar kelompok serta berguna untuk mengelompokkan suatu obyek baru ke dalam salah satu kelompok tersebut.
3.4.4 Penyusunan Fungsi Diskriminan
Analisis diskriminan merupakan teknik statistik yang menggunakan variabel dependen Y berupa variabel kategorik dan variabel bebasnya adalah interval dan atau rasio. Dalam analisis diskriminan observasi-observasi dipisahkan atau dikelompokkan berdasarkan pengukuran terhadap sejumlah p random variabel. Dimana sejumlah kelompok harus memenuhi 2 k < p, dimana p adalah banyaknya variabel pembeda. Fungsi diskriminan yang mempunyai bentuk umum berupa persamaan linier (Fisher’s Sample Linear Discriminant Function) yaitu:
atau dapat ditulis sebagai
(3.4.4.1)
dimana:
y = skor diskriminan/variabel bebas
= vektor koefisien estimasi
x’ = x1, x2, ..., xp = vektor variabel independen
Nilai dipilih sedemikian sehingga fungsi diskriminan berbeda sebesar mungkin antara kedua kelompok, atau sehingga rasio antara between-groups sum of squares dengan within-groups sum of squares maksimum. Johnson dan Wichern (1988) mengatakan bahwa untuk kelompok, nilai yang memaksimumkan rasio tersebut adalah:
(3.4.4.2)
dimana:
= rata-rata sampel populasi-1
= rata-rata sampel populasi-2
= kovarian sampel gabungan
Pengujian fungsi diskriminan dilakukan untuk mengetahui kelayakan fungsi diskriminan tersebut dalam memindahkan observasi-observasi ke dalam kelompok- kelompok yang didefinisikan. Pengujian yang umum adalah dengan melihat perbandingan variabilitas skor dalam kelompok terhadap variabilitas skor total, yang dikenal dengan statitik Wilk’s Lambda. Statistik ini sebenarnya adalah proporsi total variasi skor diskriminan yang tidak dapat diterangkan oleh perbedaan di antara kelompok (baru). Untuk melihat signifikansi perbedaannya, statistik Wilk’s Lambda ditransformasikan kedalam statistik Chi-Square.(Johnson dan Wichern, 1988). Setelah diuji tingkat signifikansinya, fungsi diskriminan yang signifikan dapat digunakan untuk mengklasifikasikan observasi-observasi baru ke dalam kelompok-kelompok tadi.
Pengujian fungsi diskriminan dapat juga dilakukan dengan menggunakan persentase observasi yang klasifikasinya tidak berubah, yaitu persentase observasi yang klasifikasinya menggunakan diskriminan tidak berbeda dengan klaifikasinya dalam kelompok acuan. Menurut Hair et al., (1987) pada besar persentase observasi yang klasifikasinya tidak berubah tersebut kurang dari suatu standar tertentu, fungsi diskriminan tidak baik digunakan dalam analisis. Ada 2 standar persentase yang digunakan yaitu kriteria peluang proporsional (proportional chance criterion) dan kriteria peluang maksimum (maximum chance criterion). Kriteria peluang proporsional ditentukan dengan rumus:
Cprop = p2 + (1 - p)2 (3.4.4.3)
Di mana:
Cprop = kriteria proporsional dari model chance.
P = proporsi perusahaan dalam kelompok-1.
(1 – p) = proporsi peluang dalam kelompok-2.
Kriteria peluang maksimum ditentukan dengan menghitung total sampel yang ditunjukkan oleh kelompok dengan prior probability terbesar. Rumusnya adalah:
Cmax = prior probability (3.4.4.4)
Suatu observasi diukur berdasarkan semua variabel independen yang digunakan dan kemudian dimasukkan ke dalam fungsi diskriminan untuk memperoleh skornya. Kriteria pengelompokan ke dalam kelompok-kelompok yang ada adalah berdasarkan skor batas. Jika hanya ada 2 kelompok yang didefinisikan dan bila sampel dari kedua kelompok berbeda, maka rata-rata kelompok harus ditimbang dengan jumlah sampel. Maka skor batas yang digunakan adalah:
(3.4.4.5)
dimana:
= rata-rata skor diskriminan dari populasi (kelompok)-1
= rata-rata skor diskriminan dari populasi (kelompok)-2
n1 = jumlah sampel dari kelompok 1
n2= jumlah sampel dari kelompok 2
n = n1 + n2
Selisih antara skor observasi (y) dengan nilai ini adalah statistik Wald-Anderson W (W = y - ). Oleh karena itu aturan klasifikasi yang digunakan adalah (Morrison, 1976):
Klasifikasikan observasi ke observasi solvent jika W ≥ 0
Klasifikasikan observasi ke observasi insolvent jika W < 0
Peluang tepat pengelompokan dapat dihitung dari matriks yang menunjukkan nilai sebenarnya (actual members) dan nilai prediksi (prediction members) dari setiap group. Untuk n1 penelitian dari populasi satu (1) dan n2 penelitian dari populasi dua (2) diperoleh matriks sebagai berikut:
Nilai Prediksi
1 2
Nilai Sebenarnya 1 n1c n1m = n1 – n1c n1
2 n2m = n2 – n2c n2c n2
Dimana:
n1c = jumlah dari 1 item yang tepat dikelompokkan pada 1 item
n1m = jumlah dari 1 item yang salah dikelompokkan pada 2 item
n2c = jumlah dari 2 item yang tepat dikelompokkan pada 2 item
n2m = jumlah dari 2 item yang salah dikelompokkan pada 1 item
Rumus dari peluang tepat pengelompokan adalah:
Persentase tepat pengelompokan
3.4.5 Prosedur Bertatar (stepwise)
Menurut Nourosis (1986), apabila dalam suatu penelitian menggunakan banyak peubah maka untuk efisiensi dalam menentukan peubah mana yang berperan dalam pembentukan fungsi diskriminan dilakukan melalui analisis diskriminan bertatar (stepwise disciminant). Prosedur ini digunakan untuk menghilangkan informasi dari peubah yang kurang berguna dalam membentuk fungsi diskriminan. Prosedur diskriminan bertatar dimulai dengan pemilihan peubah ganda yang paling berarti.
Untuk melihat peubah yang paling berarti (peubah yang dapat diikutsertakan dalam pembentukan fungsi diskriminan), dapat dilakukan dengan beberapa kriteria, yaitu:
1. Peubah yang memiliki nilai F terbesar.
2. Peubah yang memiliki nilai Wilk’s Lambda terkecil.
Nilai minimum dari F to enter adalah 3,84 dan nilai maksimum dari F to remove adalah 2,71. Nilai dari kedua F ini diperoleh dari rumus:
(3.4.5.1)
dimana n adalah total dari jumlah baris, g adalah jumlah kelompok, p adalah independent variabel yang ditambahkan, p adalah Wilk’s Lambda sebelum penambahan variabel dan p+1 adalah Wilk’s Lambda setelah penambahan/pemasukan variabel. Namun, peubah yang sudah terpilih bisa dikeluarkan dari fungsi diskriminan jika informasi yang dikandung tentang perbedaan kelompok ada di beberapa kombinasi peubah-peubah terpilih lainnya (Hair et al., 1987).
sumer: Lupa/^^
Langganan:
Postingan (Atom)
